Новый способ введения экспоненты
Каждому положительному числу
поставим в соответствие множество
, где
и
.
Лемма 1. Из
следует, что для каждого элемента
найдётся элемент
такой, что
.
Будем писать
, если
верхняя граница множества
. Аналогично, будем писать
, если
— нижняя граница множества
.
Лемма 2. Если
, то
.
Доказательство
Проведём рассуждение по индукции.
Для
утверждение очевидно:
.
Пусть
для
.
Тогда
.
Лемма 2 доказана.
В дальнейшем мы покажем, что каждое множество
ограничено. Из леммы 2 следует, что
Лемма 3. Если
и
,
, то
,
.
Доказательство
Действительно, по индукции
.
Пусть уже доказано, что
.
Тогда
.
Лемма 3 доказана.
Из леммы 3 следует
Лемма 4. Если
и
,
, то
.
Из лемм 3 и 4 следует важное неравенство: если
, то
(2)
В частности если
, то
. Заметим, что неравенство
верно для всех
.
Лемма 5. Для любого натурального
справедливо неравенство
.
Доказательство
Пусть
,
.
Оценим произведение
. Из леммы 2 следует, что
для
.
Поэтому
.
Так как
, то применив лемму 4, получим
, т. е.
.
Итак, лемма 5 доказана.
Лемма 6. Пусть
два непустых ограниченных подмножества множества действительных чисел
. Если для любого
найдётся элемент
такой, что
, то
.
Доказательство
Ясно, что
. Если предположить, что
, то найдётся
такое, что
. Значит, для любого
верно неравенство
. Но в
найдётся элемент
. Значит, каждое
меньше этого
, что противоречит условию леммы, и доказательство на этом закончено.
Определение функции
(экспоненты)
Мы видим (см. лемму 1 и лемму 5), что для любого
множество
ограничено. Это позволяет определить функцию
, положив
и
. Для любых непустых подмножеств
,
множества
действительных чисел положим
, где
.
Лемма 7. Если
,
непустые ограниченные подмножества
, то
.
Доказательство
Так как
, то
. Если
, то найдётся
такое, что
. Следовательно, для любых
и
верно
(3)
Выберем последовательность
элементов множества
, сходящуюся к
и последовательность
элементов множества
, сходящуюся к
. Но тогда
, что противоречит
.
Лемма 7 доказана.
Лемма 8. Для
справедливо равенство
.
Доказательство
Рассмотрим множества
,
и
. Включение
очевидно. Докажем, что для любого
найдутся
и
такие, что
. Действительно, пусть
, где
,
. Рассмотрим наборы положительных чисел
.
Ясно, что
,
.
Положим
,
.
Ясно, что
,
и
,
что завернает доказательство леммы 8.
Итак
. Но из леммы 7 следует, что
.
Мы построили действительную функцию
, определённую на множестве положительных чисел, такую что
. Доопределим её на всю числовую прямую, положив
и
для любого отрицательного числа
.
Итак, функция
определена на всей числовой прямой.
Лемма 9. Если
, то
.
Доказательство
Если одно из чисел
,
,
равно
, то для них утверждение леммы верно.
Для случая когда
лемма следует из леммы 8.
Далее, если лемма верна для чисел
,
,
, то она верна и для чисел
,
,
. Действительно, так как
, то
, т. е.
. Значит, достаточно доказать лемму для случая
. Но тогда либо
,
, либо
,
, либо
,
. Случай
,
уже разобран. Для определённости положим
,
. Итак,
, следовательно
, где
,
и
. Значит,
или
, т. е.
.
Лемма 9 доказана.
О функции
Мы построили функцию
, определённую на множестве действительных чисел, такую, что для любых
верно:
,
(4)
Для
из
следует
(5)
Если же
, то из
получим
(6)
Отметим, что т. к.
, то
(7)
Окончательно из
,
,
получим
(8)
Ясно что
.
Итак, установлено, что
(9)
Оценим величину
. Положив в неравенстве
, получим для
,
таких, что
и
:
(10)
Используя
, из
получим:
(11)
Т. к.
,
, то из
следует, что
, т. е.
возрастает на
. Далее
, поэтому для
получим
(12)
Из
следует, что на множестве
функция
равномерно непрерывна. Значит,
непрерывна всюду на
.
Теперь оценим величину производной функции
в произвольной точке
.
Пусть
и
,
при
. Тогда
,
т. е.
.
Так как
при
, и
при
, то
.
Это значит, что
всюду дифференцируема на
и
.

разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы

