Ещё одна статья про кватернионы и углы Эйлера

По работе у меня возникла необходимость переводить координаты объекта из углов Эйлера в кватернионы и обратно.

В ходе разбирательства пришлось прочитать несколько статей на Хабре, посвященных кватернионам и углам Эйлера, Википедию и просто методички и статьи разных ВУЗов. Для удобства приведу ссылки на статьи, с Хабра:

Каверзные кватернионы
Заметки о вращении вектора кватернионом
Кватернионы для чайников
Кручу-верчу, запутать хочу. Углы Эйлера и Gimbal lock

Формулы для пересчёта углов Эйлера в кватеринионы и обратно найти можно, но

Опишу коротко суть проблемы:

  1. Тело в трёхмерном пространстве имеет 6 степеней свободы: 3 координаты и 3 угла поворота.
  2. С координатами всё хорошо, например, если они (4,5,2), то это означает, что тело нужно сдвинуть относительно начала координат на +4 единицы по оси X, на +5 единиц по оси Y и на +2 единицы по оси Z. При этом порядок сдвига не важен. Можно сначала сдвинуть по X, потом по Y, потом по Z, а можно в другой последовательности. От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
  3. С поворотами всё гораздо хуже. Иногда может сложиться ощущение, что для них тоже просто достаточно задать углы поворота вокруг трёх осей и этого будет достаточно (например: перевернуть предмет на 180 градусов вокруг оси X, потом на 180 градусов вокруг оси Y, а затем на 90 градусов вокруг оси Z — в каком порядке не поворачивай — результат будет один и тот же). Эта ловушка возникает оттого, что нам легче всего оперировать углами типа 90 или 180 градусов, а они-то как раз и представляют из себя очень частный случай. В общем случае порядок поворотов имеет значение.

А как же быть с законом, говорящим, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется? Дело в том, что композиция нескольких поворотов соответствует уже не сумме векторов (как в случае с операциями параллельного переноса), а произведению. И произведению не просто чисел, а специальных объектов — матриц поворота, например — на которые коммутативность «обычного» умножения не распространяется. В зависимости от порядка выбора осей поворота и от того, будут ли поворачиваться оси вместе с объектом или поворачиваться будет только объект, можно выделить 24 типа описаний поворотов. Очень часто углы поворота вокруг осей называются углами Эйлера. Иногда, в некоторых источниках эти углы называются углами Тэйт-Брайана либо углами Эйлера в зависимости от того, все три оси, вокруг которых делается вращение разные (углы Тэйт-Брайана), либо же первая и последняя оси — одна и та же. Также эти углы называют angles of extrinsic rotation — если оси неподвижны или angles of intrinsic rotation — если оси вращаются вместе с объектом.
Чтоб не запутаться, приведу все типы вращений здесь:
Тейт-Брайана, внутренние:
ZYXr; YZXr; XZYr; ZXYr; YXZr; XYZr.
Эйлера, внутренние:
XYXr; XZXr; YZYr; YXYr; ZXZr; ZYZr.
Тейт-Брайана, внешние:
ZYXs; YZXs; XZYs; ZXYs; YXZs; XYZs.
Эйлера, внешние:
XYXs; XZXs; YZYs; YXYs; ZXZs; ZYZs.
Внешние углы комплементарны внутренним, прочитанным задом наперёд, например: внешние углы Эйлера 10, 20, 30 градусов в формате XYXs это то же самое, что и внутренние углы Эйлера 30, 20, 10 градусов в формате XYXr.

Собственно, об этом уже было сказано много раз. Зачем же писать новую статью? Дело в том, что информации о том, как переводить из углов Эйлера в кватернион и обратно — не так уж и много. И в большинстве случаев описывается только 1 или 2, 3, 6 систем углов Эйлера. Но не все 24. И по аналогии вывести остальные (и не ошибиться) не очень-то и просто. Во время «откапывания истины» мне удалось найти несколько онлайн-конвертеров из углов в кватернионы и по тому, в каком направлении увеличивается их возможность по конвертации можно понять, сколько ещё вариантов осталось не охвачено:
quat.zachbennett.com — один тип углов
energid.com — один тип углов
onlineconversion.com — один тип углов
quaternions.online — три типа углов
andre-gaschler.com — шесть типов углов

Единственное место, где я смог найти описание преобразований для всех 24 типов углов — это книга «Graphics Gems IV». Репозитарий с исходниками от этой книги находится здесь: Исходники к книге Graphics Gems IV. Если говорить про код преобразования из углов Эйлера в кватернионы и обратно, то эти исходники в репозитарии находятся здесь: …/GraphicsGems/gemsiv/euler_angle. Но у них есть один недостаток: с целью сделать максимально общую функцию расчёта углов и кватернионов, автор очень сильно усложнил код. Т.е. код получился очень компактным, но плохо подходящим для перевода на другие языки или для оптимизации под конкретные случаи. Так как мне очень нужно было разобраться со всеми 24-мя случаями, то пришлось этот код немного поисследовать и развернуть его в набор простых случаев. Также я написал небольшие юнит-тесты и проверил, что мой код работает корректно. Т.к. эти юнит-тесты используют код, скомпилированный из исходников от книги Graphics Gems, то выкладывать их (юнит-тесты) я не стал.

Не буду приводить в тексте статьи свои исходники (они написаны на языке Octave). Дам лишь ссылку на репозитарий и прокомментирую его содержимое:

eul_to_quat.m — аналог матлабовской функции eul2quat
quat_to_eul.m — аналог матлабовской функции quat2eul

Обеих функций в Octave нет. В Matlab поддерживаются только 6 типов углов Эйлера на неподвижных осях. В моих реализациях поддерживаются все 24 типа. При этом типы с буквой r на конце (например, XYZr) означают, что оси вращаются вместе с объектом. Типы с буквой s на конце (например, XYZs) означают, что оси остаются неподвижными.

FavoriteLoadingДобавить в избранное

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *