Julia и уравнения в частных производных

На примере типичнейших физических моделей закрепим навыки работы с функциями и познакомимся с быстрым, удобным и красивым визуализатором PyPlot, предоставляющим всю мощь питоновской Matplotlib. Будет много картинок (упрятанных под спойлеры)

Удостоверяемся, что под капотом всё чистое и свежее:

Под капотом

]status Status `C:\Users\Игорь\.julia\environments\v1.0\Project.toml`   [537997a7] AbstractPlotting v0.9.0   [ad839575] Blink v0.8.1   [159f3aea] Cairo v0.5.6   [5ae59095] Colors v0.9.5   [8f4d0f93] Conda v1.1.1   [0c46a032] DifferentialEquations v5.3.1   [a1bb12fb] Electron v0.3.0   [5789e2e9] FileIO v1.0.2   [5752ebe1] GMT v0.5.0   [28b8d3ca] GR v0.35.0   [c91e804a] Gadfly v1.0.0+ #master (https://github.com/GiovineItalia/Gadfly.jl.git)   [4c0ca9eb] Gtk v0.16.4   [a1b4810d] Hexagons v0.2.0   [7073ff75] IJulia v1.13.0+ [`C:\Users\Игорь\.julia\dev\IJulia`]   [6218d12a] ImageMagick v0.7.1   [c601a237] Interact v0.9.0   [b964fa9f] LaTeXStrings v1.0.3   [ee78f7c6] Makie v0.9.0+ #master (https://github.com/JuliaPlots/Makie.jl.git)   [7269a6da] MeshIO v0.3.1   [47be7bcc] ORCA v0.2.0   [58dd65bb] Plotly v0.2.0   [f0f68f2c] PlotlyJS v0.12.0+ #master (https://github.com/sglyon/PlotlyJS.jl.git)   [91a5bcdd] Plots v0.21.0   [438e738f] PyCall v1.18.5   [d330b81b] PyPlot v2.6.3   [c4c386cf] Rsvg v0.2.2   [60ddc479] StatPlots v0.8.1   [b8865327] UnicodePlots v0.3.1   [0f1e0344] WebIO v0.4.2   [c2297ded] ZMQ v1.0.0

Иначе докачиваем всё что нужно на сегодня

julia>] pkg> add PyCall pkg> add LaTeXStrings  pkg> add PyPlot pkg> build PyPlot # если не произошел автоматический build # в случае нытья - просто качайте всё что он попросит, питон довольно требовательный pkg> add Conda # это для использования Jupyter - очень удобная штука pkg> add IJulia # вызывается как на заглавной картинке pkg> build IJulia # если не произошел автоматический build

Теперь к задачам!

Уравнение переноса

В физике под термином перенос понимают необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины.
Линейное одномерное уравнение переноса (или уравнение адвекции) – простейшее дифференциальное уравнение в частных производных – записывается в виде

$ \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}+c\frac{\partial U(x,t)}{\partial x}=\Phi(U,x,t) $

Для численного решения уравнения переноса можно использовать явную разностную схему:

$ \frac{\hat{U}_i-U_i}{\tau}+c\frac{U_i-U_{i-1}}{\Delta}=\frac{\Phi_{i-1}+\Phi_i}{2} $

где

$\hat{U}$

— значение сеточной функции на верхнем временном слое. Эта схема устойчива при числе Куранта

$K=c\tau/\Delta<1$

Нелинейный перенос

$ \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}+(C_0+UC_1)\frac{\partial U(x,t)}{\partial x}=\Phi(U,x,t) $

Линейный источник (перенос с поглощением):

$\Phi(U,x,t)=-BU$

. Воспользуемся явной разностной схемой:

$ U^{j+1}_i=\left(1-\frac{h_tB}{2}-\frac{h_tC_0}{h_x}-\frac{h_tC_1}{h_x}U^j_i\right)U^j_i+U^j_{i-1}\left(\frac{h_tC_0}{h_x}-\frac{h_tB}{2}+\frac{h_tC_1}{h_x}U^j_i\right) $

using Plots pyplot()  a = 0.2 b = 0.01 ust = x -> x^2 * exp( -(x-a)^2/b ) # начальное условие bord = t -> 0. # граничное  # можно задавать значения по-умолчанию function transferequi(;C0 = 1., C1 = 0., B = 0., Nx = 50, Nt = 50, tlmt = 0.01)     dx = 1/Nx     dt = tlmt/Nt      b0 = 0.5B*dt     c0 = C0*dt/dx     c1 = C1*dt/dx      print("Kurant: $c0 $c1")      x = [i for i in range(0, length = Nx, step = dx)]# один из способов задать массив с помощью цикла     t = [i for i in range(0, length = Nt, step = dt)] # ранжированая переменная - не массив      U = zeros(Nx, Nt)      U[:,1] = ust.(x)     U[1,:] = bord.(t)      for j = 1:Nt-1, i = 2:Nx         U[i, j+1] = ( 1-b0-c0-c1*U[i,j] )*U[i,j] + ( c0-b0+c1*U[i,j] )*U[i-1,j]     end      t, x, U end  t, X, Ans0 = transferequi( C0 = 4., C1 = 1., B = 1.5, tlmt = 0.2 )  plot(X, Ans0[:,1], lab = "t1") plot!(X, Ans0[:,10], lab = "t10") p = plot!(X, Ans0[:,40], lab = "t40") plot( p, heatmap(t, X, Ans0) ) # объединим одним в одно изображение

Результат

Усилим поглощение :

t, X, Ans0 = transferequi( C0 = 2., C1 = 1., B = 3.5, tlmt = 0.2 )  plot(X, Ans0[:,1]) plot!(X, Ans0[:,10]) p = plot!(X, Ans0[:,40]) plot( p, heatmap(t, X, Ans0) )

Результат

t, X, Ans0 = transferequi( C0 = 1., C1 = 15., B = 0.1, Nx = 100, Nt = 100,  tlmt = 0.4 )  plot(X, Ans0[:,1]) plot!(X, Ans0[:,20]) plot!(X, Ans0[:,90])

Почти опрокинулась


heatmap(t, X, Ans0)

Уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности (или уравнение диффузии тепла) записывается следующим образом:

$ \frac{\partial T(x,t)}{\partial t}+D\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x^2}=\phi(T,x,t) $

Это уравнение параболического типа, содержащее первую производную по времени t и вторую по пространственной координате x. Оно описывает динамику температуры например, остывающего или нагреваемого металлического стержня (функция T описывает профиль температуры по координате х вдоль стержня). Коэффициент D называется коэффициентом теплопроводности (диффузии). Он может быть как постоянным, так и зависеть, как явно от координат, так и от самой искомой функции D(t, x,T).

Рассмотрим линейное уравнение(Коэффициент диффузии и источники тепла не зависят от температуры). Разностная аппроксимация дифференциального уравнения с помощью явной и неявной схемы Эйлера соответственно:

$ \frac{T_{i,n+1}-T_{i,n}}{\tau}=D\frac{T_{i-1,n}-2T_{i,n}+T_{i+1,n}}{\Delta^2}+\phi_{i,n} \\ \frac{T_{i,n+1}-T_{i,n}}{\tau}=D\frac{T_{i-1,n+1}-2T_{i,n+1}+T_{i+1,n+1}}{\Delta^2}+\phi_{i,n} $

δ(x) = x==0 ? 0.5 : x>0 ? 1 : 0 # дельта-функция с использованием тернарного оператора startcond = x-> δ(x-0.45) - δ(x-0.55) # начальное условие bordrcond = x-> 0. # условие на границе D(u) = 1 # коэффициент диффузии Φ(u) = 0 # функция описывающая источники # чтоб ввести греческую букву вводим LaTex команду и жмем Tab # \delta press Tab -> δ  function linexplicit(Nx = 50, Nt = 40; tlmt = 0.01)     dx = 1/Nx     dt = tlmt/Nt     k = dt/(dx*dx)      print("Kurant: $k dx = $dx dt = $dt k<0.5? $(k<0.5)")      x = [i for i in range(0, length = Nx, step = dx)] # один из способов задать массив с помощью цикла     t = [i for i in range(0, length = Nt, step = dt)] # ранжированая переменная - не массив     U = zeros(Nx, Nt)      U[: ,1] = startcond.(x)     U[1 ,:] = U[Nt,:] = bordrcond.(t)      for j = 1:Nt-1, i = 2:Nx-1         U[i, j+1] = U[i,j]*(1-2k*D( U[i,j] )) + k*U[i-1,j]*D( U[i-1,j] ) + k*U[i+1,j]*D( U[i+1,j] ) + dt*Φ(U[i,j])     end     t, x, U end  t, X, Ans2 = linexplicit( tlmt = 0.005 )  plot(X, Ans2[:,1], lab = "t1") plot!(X, Ans2[:,10], lab = "t10") p = plot!(X, Ans2[:,40], lab = "t40", title = "Explicit scheme") plot( p, heatmap(t, X, Ans2) )

Результат

Воспользуемся неявной схемой и методом прогонки

function nonexplicit(Nx = 50, Nt = 40; tlmt = 0.01)     dx = 1/Nx     dt = tlmt/Nt     k = dt/(dx*dx)      print("Kurant: $k dx = $dx dt = $dt k<0.5? $(k<0.5)\n")      x = [i for i in range(0, length = Nx, step = dx)]     t = [i for i in range(0, length = Nt, step = dt)]     U = zeros(Nx, Nt)     η = zeros(Nx+1)     ξ = zeros(Nx)      U[: ,1] = startcond.(x)     U[1 ,:] = bordrcond.(t)     U[Nt,:] = bordrcond.(t)      for j = 1:Nt-1         b = -1 - 2k*D( U[1,j] )         c = -k*D( U[2,j] )         d = U[1,j] + dt*Φ(U[1,j])         ξ[2] = c/b         η[2] = -d/b          for i = 2:Nx-1              a = -k*D( U[i-1,j] )             b = -2k*D( U[i,j] ) - 1             c = -k*D( U[i+1,j] )             d = U[i,j] + dt*Φ(U[i,j])              ξ[i+1] = c / (b-a*ξ[i])             η[i+1] = (a*η[i]-d) / (b-a*ξ[i])         end          U[Nx,j+1] = η[Nx]          for i = Nx:-1:2             U[i-1,j+1] = ξ[i]*U[i,j+1] + η[i]         end     end     t, x, U end   plot(X, Ans2[:,1], lab = "ex_t1") plot!(X, Ans2[:,10], lab = "ex_t10") plot!(X, Ans2[:,40], lab = "ex_t40") plot!(X, Ans3[:,1], lab = "non_t1") plot!(X, Ans3[:,10], lab = "non_t10") plot!(X, Ans3[:,40], lab = "non_t40", title = "Comparison schemes")

Сравнение схем

Нелинейное уравнение теплопроводности

Намного более интересные решения можно получить для нелинейного уравнения теплопроводности, например, с нелинейным источником тепла

$\phi(x,T)=10^3(T-T^3)$

. Если задать его в таком виде, то получится решение в форме тепловых фронтов, распространяющихся в обе стороны от зоны первичного нагрева

Φ(u) = 1e3*(u-u^3)  t, X, Ans4 = linexplicit( tlmt = 0.005 )  plot(X, Ans4[:,1], lab = "ex_t1") plot!(X, Ans4[:,10], lab = "ex_t10") plot!(X, Ans4[:,40], lab = "ex_t40", title = "Thermal front")

Тепловой фронт

Еще более неожиданные решения возможны при нелинейности также и коэффициента диффузии. Например, если взять

$D(x,T)=T^2$

, a

$\phi(x,T)=10^3T^{3.5}$

, то можно наблюдать эффект горения среды, локализованный в области ее первичного нагрева (S-режим горения «с обострением»).
Заодно проверим, как наша неявная схема работает с нелинейностью и источников и коэффициента диффузии

D(u) = u*u Φ(u) = 1e3*abs(u)^(3.5)  t, X, Ans5 = linexplicit( tlmt = 0.0005 ) t, X, Ans6 = nonexplicit( tlmt = 0.0005 )  plot(X, Ans5[:,1], lab = "ex_t1") plot!(X, Ans5[:,10], lab = "ex_t10") p1 = plot!(X, Ans5[:,40], lab = "ex_t40", title = "Burning with aggravation") p2 = heatmap(abs.(Ans6-Ans5), title = "Difference")  # построим разницу между результатами схем plot(p1, p2)

S-режим

Волновое уравнение

Волновое уравнение гиперболического типа

$ \frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x^2} $

описывает одномерные линейные волны без дисперсии. Например, колебания струны, звук в жидкости (газе) или электромагнитные волны в вакууме (в последнем случае уравнение должно быть записано в векторном виде).

Простейшей разностной схемой, аппроксимирующей данное уравнение, является явная пятиточечная схема

$ \frac{U^{n+1}_i-2U^{n}_i+U^{n-1}_i}{\tau^2}=c^2\frac{U^n_{i+1}-2U^n_i+U^n_{i-1}}{h^2}\\ x_i=ih,\,t_n=\tau $

Эта схема, получившая название «крест», имеет второй порядок точности по времени и по пространственной координате и является трехслойной по времени.

# функция задающая начальное условие ψ = x -> x^2 * exp( -(x-0.5)^2/0.01 ) # поведение на границах ϕ(x) = 0 c = x -> 1  # решение одномерного волнового уравнения function pdesolver(N = 100, K = 100, L = 2pi, T = 10, a = 0.1 )      dx = L/N;     dt = T/K;     gam(x) = c(x)*c(x)*a*a*dt*dt/dx/dx;     print("Kurant-Fridrihs-Levi: $(dt*a/dx) dx = $dx dt = $dt")     u = zeros(N,K);       x = [i for i in range(0, length = N, step = dx)]     # инициализируем первые два временных слоя     u[:,1] = ψ.(x);     u[:,2] = u[:,1] + dt*ψ.(x);     # задаём поведение на границах      fill!( u[1,:], 0);     fill!( u[N,:], ϕ(L) );      for t = 2:K-1, i = 2:N-1         u[i,t+1] = -u[i,t-1] + gam( x[i] )* (u[i-1,t] + u[i+1,t]) + (2-2*gam( x[i] ) )*u[i,t];     end     x, u end  N = 50; # количество шагов по координате K = 40; # и по времени a = 0.1; # скорость распространения волны L = 1; # длина образца  T = 1; # длительность эксперимента  t = [i for i in range(0, length = K, stop = T)]  X, U = pdesolver(N, K, L, T, a) # вызываем расчетную функцию  plot(X, U[:,1]) plot!(X, U[:,40])

Результат

Чтобы построить поверхность, воспользуемся PyPlot’ом не как окружением Plots, а непосредственно:

График-поверхность

using PyPlot surf(t, X, U)

И на десерт распространение волны со скоростью зависящей от координаты:

ψ = x -> x>1/3 ? 0 : sin(3pi*x)^2 c = x -> x>0.5 ? 0.5 : 1  X, U = pdesolver(400, 400, 8, 1.5, 1) plot(X, U[:,1]) plot!(X, U[:,40]) plot!(X, U[:,90]) plot!(X, U[:,200], xaxis=("Распространение волнового фронта", (0, 1.5), 0:0.5:2) )

Результат

U2 = [ U[i,j] for i = 1:60, j = 1:size(U,2) ] # срежем пустую область surf(U2) # такие вещи лучше смотреть с разных ракурсов

heatmap(U, yaxis=("Координаты возмущения", (0, 50), 0:10:50))

На сегодня достаточно. Для более детального ознакомления:
ссылка PyPlot на гитхаб, еще примеры использования в качестве окружения Plots и хорошая русскоязычная памятка по Julia.

FavoriteLoadingДобавить в избранное
Posted in Без рубрики

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *